Znajdowanie przybliżonej wartości miejsca zerowego

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument x,
dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.

Metoda połowienia - bisekcji

Mamy daną funkcję f(x) oraz przedział <a,b>, w którym będziemy poszukiwali miejsca zerowego (czyli pierwiastka funkcji f(x)). Aby można było zastosować algorytm połowienia (zwany również algorytmem bisekcji), w przedziale <a,b> muszą być spełnione poniższe warunki:

1.	Funkcja f(x) jest określona - uczniowie często nie rozumieją tego pojęcia. Określoność funkcji oznacza, iż dla każdej wartości argumentu x z przedziału <a,b> potrafimy policzyć wartość funkcji. W trakcie pracy algorytm połowienia oblicza wartości funkcji dla argumentów należących do tego przedziału <a,b>. Jeśli przypadkowo trafi na punkt, dla którego wartość funkcji jest nieokreślona, obliczenia się załamią. W praktyce konsekwencje mogą być tragiczne, np. zmiana lotu samolotu z poziomego na pionowy w kierunku ziemi... Dla przykładu rozważmy prostą funkcję: Ile wynosi wartość tej funkcji dla x = 1? Musimy dzielić przez 0, a jak wiadomo jest to zadanie niewykonalne. W punkcie x = 1 tak podana funkcja ma nieokreśloną wartość.
2.	Funkcja f(x) jest ciągła. Ciągłość funkcji oznacza z kolei, iż jej wartości nie "wykonują" nagłych skoków. Funkcja przebiega przez wszystkie wartości pośrednie - nie istnieją zatem przerwy w kolejnych wartościach funkcji. Dla przykładu rozważmy taką oto funkcję: Funkcja w przedziale <-2,1> posiada następujący wykres: Nieciągłość występuje w punkcie x = 0, czyli w miejscu zmiany przepisu funkcji. Zwróć uwagę, iż funkcja jest określona w tym punkcie - nieciągłość i nieokreśloność to dwie różne sprawy - nie myl ich!!!
3.	Funkcja f(x) na krańcach przedziału <a,b> przyjmuje różne znaki. Ponieważ funkcja, zgodnie z poprzednim podpunktem, jest ciągła, to przyjmuje w przedziale <a,b> wszystkie wartości pośrednie pomiędzy f(a) i f(b).  Wartości te mają różne znaki (czyli leżą po różnych stronach osi OX), zatem musi być taki punkt xo w przedziale <a,b>, dla którego funkcja przyjmuje wartość pośrednią: f(a) < f(xo) = 0 < f(b)   lub   f(a) > f(xo) = 0 > f(b)

Gdy funkcja f(x) spełnia powyższe trzy warunki, to w przedziale <a,b> zagwarantowane jest istnienie pierwiastka i możemy go wyszukać algorytmem połowienia (bisekcji). Zasada jest następująca:

Wyznaczamy punkt x_o jako środek przedziału <a,b> zgodnie ze wzorem:

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x_o. Sprawdzamy, czy f(x_o) znajduje się dostatecznie blisko 0:

Jeśli nierówność jest spełniona, to x_o jest poszukiwaną wartością pierwiastka. Zwracamy wynik i kończymy algorytm. W przeciwnym razie za nowy przedział poszukiwań pierwiastka przyjmujemy tą połówkę <a,x_o> lub <x_o,b>, w której funkcja zmienia znak na krańcach. Algorytm powtarzamy od początku dotąd, aż znajdziemy pierwiastek

Program wyznacza miejsce zerowe funkcji: f(x) = x³(x + sin(x² - 1) - 1) - 1. Pierwiastków należy poszukiwać w przedziałach <-1,0> i <1,2>.